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让咱们先引入这个故事的主角——欧拉公式：

这个结构看似浅易的公式，实质上度浓缩了三维实体（即多面体，Polyhedra）的中枢几何几何属。这类空间结构在昔时4000多年里永远眩惑着数学的眼神。事实上端倪地讲，欧拉公式揭示了对于体式与空间推行的刻规矩。该公式以瑞士数学莱昂纳德·欧拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）的名字定名。

什么是多面体？

在磋商欧拉公式的推行之前，咱们需要明确多面体的数学界说。多面体是种三维实体，其名义由有限个平坦的面（Face）围成，而这些面的范畴须是笔直的线段。这里的每个面推行上齐是个多边形（Polygon）——即在二维平面上由若干条直线段尾相连组成的阻塞图形。

图1：常见的三角形和正形均属多边形，但多边形通常不错具备右图所示的不规矩形态。

多边形的界说有着严格的扫尾——其里面不允许存在职何孔洞，正如下图中所示：左侧的图形是个多边形，但右边的并不是。

图2：左侧图形属于规的多边形；右侧图形则否则，因为其中间包含个“孔洞”。

若个多边形的系数边长均相等，且系数内角也均相等，则称之为正多边形（Regular Polygon）。举例图1中的三角形、正形，以及图2中的五边形齐是正多边形。

当咱们将维度进取拓展，便得到了多面体。它是个阻塞的三维实体，名义由若干多边形面组成。咱们将这些面的范畴称为边（Edge）——每两条边恰好由两个面共用；位于每个面边缘的部分被称为极点（Vertex）——在法式多面体中，每个极点至少聚拢着三个不同的面。为了诠释这点，以下是两个多面体的例子。

图3：左侧为常见的正体，右侧为正二十面体。多面体由多边形的面组成，面的范畴称为“边”，面与面的交角（极点）称为“极点”。

此外，个果然的多面体须是个血肉相连的连气儿举座。它不成由诸如两个或者多个立的几何体仅通过条边或个极点强行聚拢而成。因此，以下两种情形均不属于果然意旨上的多面体：

图4： 此类对象不属于多面体，因为它们由两个立的几何部分组成，且只是交于条边（如左图）或个极点（如右图）。

欧拉公式揭示了什么？

当今，咱们仍是准备好来望望欧拉公式究竟解释什么相关多面体的玄妙了。不雅察个多面体（举例上述的正体或正二十面体），统计其极点数目，并将该数值记为V。以正体为例，它领有8个极点，即V=8。其次，统计其边的数目，并将该数值记为E。正体领有12条边，即E=12。后，统计其面的数目，并将该数值记为F。在正体的例子中F=6。当今，欧拉公式告诉咱们：

用翰墨表述也即是：多面体的极点数，减去边数，再加上头数，其效果恒等于2。对于正体，咱们仍是知谈V=8、E=12且F=6。因此：

这与公式的预言吻。咱们再来望望正二十面体，不错发现它领有12个极点（V=12）、30条边（E=30）和20个面（F=20）。代入公式可得：

通常和咱们先前所预感的致。

欧拉公式对于正体和正二十面体诱惑。事实上，高明得令东谈主咋舌的是，欧拉公式对简直系数多面体齐普遍适用。唯使该规矩失的特例，是那些里面包含聚拢孔洞的几何体（如下图所示）。

图5： 该多面体里面存在个聚拢的孔洞。在这种情况下，欧拉公式不再适用。

在几何学中，此类带有孔洞的多面体被称为非浅易多面体（non-simple）；与之相对，莫得孔洞的则称为浅易多面体。固然非浅易多面体并不符老例直观，但它们在现实中多数存在，咱们也不成侧目欧拉公式对它们均失的事实。关联词，即使是这烦嚣的反常表象，如今已演变为门对于空间与拓扑结构的全新表面。

欧拉公式的表面威力

旦数学发现某个“不变量”（即对某类对象普遍诱惑的恒等属），他们就知谈我方找到宝了。学者们不错借此断单个或者整类几何体可能具备的质。举例，欧拉公式不错告诉咱们：寰宇上根底不存在恰好领有7条边的浅易多面体。 你不找来硬纸板、剪刀和胶水亲手操作才能弄懂这件事合肥塑料挤出机设备厂家，欧拉公式即是你所需要的切。相关“不存在7条边多面体”的论证过程其实至极浅易，感风趣的读者不错我方尝试下。（译者注：不错试着找些浅易多面体极点、边和面之间的数学关系，然后和欧拉公式结出矛盾）

同理，咱们也不错诠释注解：对不存在个刚好领有10个面和17个极点的浅易多面体。 下图所示的八边柱底面为八边形，它如实有10个面，然则极点的数目独一16个。底面为九边形的边锥通常有10个面，但其极点仅有10个。欧拉公式从代数层面上锁死了创造“10面17顶”多面体的可能。

图6： 这两种多面体固然均由10个面组成，但其极点数均法达到17个。

恰是基于上头这种念念考，咱们得以瞥巧合是数学中好意思的发现。这发现和正多面体相关，这是类以古希腊玄学柏拉图定名的著名多面体（译者注：柏拉图立体），它们早出当今柏拉图的著述中。

图7： 柏拉图立体。自左至右纪律为：领有4个面的正四面体、6个面的正体、8个面的正八面体、12个面的正十二面体，以及20个面的正二十面体。

尽管只需看上头的实例，就能坐窝感受到它们匀称好意思的性格，但想用翰墨界说却并不浅易。事实上，柏拉图立体由两大中枢特征界定。

，柏拉图立体不存在卓绝角或凹下，举座形态规整鼓胀。换句话说：在柏拉图立体里面任取两点并相连，两点间的整条线段齐包含在立体里面 —— 这类立体即是咱们所说的凸多面体（convex）。

二个特征称为正规（regularity）：立体系数面齐是边数疏浚的正多边形，且立体每个极点处交织的边数目齐相等。

正体是种正多面体，因为其系数面均为正形，且每个极点均聚拢3条边。读者不错自行考据，正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体通常闲暇这两个特征。

此刻你巧合会兴趣，共存在几许种不同的柏拉图立体。自强体与正四面体被发现以来，数学们便陶醉于柏拉图立体匀称对称的好意思感，不停寻找新的种类，并试图无缺列举出系数类型。这时欧拉公式就能派上用场。咱们不错借助它，算正多面体的面、边、极点数目系数可能的组。终你会发现，推行上仅有五种不同的正凸多面体！这点十分出东谈主预感：毕竟正多边形的边数不错限多，为何正多面体的种类却存在上限？五种柏拉图立体：正四面体、立体、正八面体、正十二面体与正二十面体辞别如上图所示。

严格的逻辑诠释注解

对各式不同的浅易多面体进行尝试，会让你信服欧拉公式老是诱惑的。但对于数学来说，这远远不够。你需要的是“诠释注解”——种基于懈可击的逻辑理，诠释注解该公式对系数已知和未知的多面体均对诱惑。

尽管该公式以欧拉定名，但个无缺诠释注解推行上并非由欧拉得出。它的发展历程纵横交错，跨越两百年时光，多位数学大师齐参与其中，包括勒内·笛卡尔（René Descartes，1596–1650）、欧拉本东谈主、阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752–1833）以及奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789–1857）。

值得提的是，这些数学诠释注解该公式采取的念念路截然有异，每种证法齐具巧念念与到认识。不外，这里我想为大浅易先容柯西的诠释注解念念路。他的诠释注解分为好几个阶段与形状，步是构造种叫作念蚁集图的图形结构。

勒内·笛卡尔（1596–1650）、阿德里安-马里·勒让德（1752–1833）和奥古斯丁-路易·柯西（1789–1857）的画像

阶段：多面体的平面蚁集化

联想你手中拿着个多面体，让其中个面朝上。接下来遐想只“去掉”这个朝上的面，保留它掌握系数的边和极点，这么就得到个敞口的 “盒状结构”。然后联想收拢这个结构，把缺失阿谁面的四条边向四周拉开。只须拉得富有开，这个立体结构就能摊平，变成平面上由点和线段组成的蚁集图。下系列图示以立体为例，演示了这过程。

图8： 将正体转化为平面蚁集的过程。

从上图不错看到，原多面体的每个面，齐会转化为蚁集图中被边包围的块区域，咱们将其称作蚁集图的面，也即是蚁集图的里面面。除此除外还有个外部面，即蚁集图外围的整片区域，它正巧对应咱们从多面体上移除的阿谁面。因此，该蚁集图包含极点、直线边以及多边形面。

图9： 平面蚁集通常由面、边以及极点组成。

在构造蚁集图的过程中，极点既莫得新增也莫得减少，因此蚁集图的极点数目和原多面体相等，记作V；蚁集图的边的数目也和多面体致，记作E。再看面：多面体除了被去掉的阿谁面除外，其余系数面齐变成了蚁集图里面的区域；而阿谁被”去掉”的面，则对应环绕蚁集图四周、向外限延长的外部面。因此若把外部面算在内，蚁集图共有F个面。这就意味着，咱们不错借助蚁集图（而非原多面体）来诡计V-E+F的值。接下来咱们将对蚁集图作念变形科罚，简化该式的诡计。

阶段二：蚁集的拓扑变换

咱们不错对蚁集图履行三类操作合肥塑料挤出机设备厂家，塑料挤出设备底下将分三步先容这些操作。

形状1：咱们先不雅察蚁集图里的多边形面，并提议个问题：是否存在边数大于三的面？若是有，就像下图那样画出条对角线，把这个面分割成两个小的面。

图10： 区域剖分（分割面）。

咱们对采取的面重迭上头的操作，直到它被分割成若干个三角形。

图11： 终通盘蚁集将一齐由三角形面组成。

倘若还有其他边数大于三的面，咱们就对该面重迭步操作，直至它也被拆分为多个三角形面。按照这种法，咱们能把系数面十足分割成三角形，终得到张全新蚁集图，它系数的面均为三角形。下文将以立体张开得到的蚁集图为例，演示这变换过程。

图12： 正体蚁集在捏续履行“形状1”后的演变景色。

咱们回到步，不雅察仅履行次步操作后得到的蚁集图。绘图条对角线会新增条边；原来的个面被拆成两个面，因此面的数目加多 1，而极点总和保捏不变。

变换后的蚁集图极点数仍为V，边数变为E+1，面数变为F+1。那么履行次步操作后，V-E+F的值会发生如何的变化？结V,E,F各自的增减情况不错得到，变换后的抒发式为V-(E+1)+(F+1)。接下来咱们对该式化简：

由此可知，完成步操作后，V-E+F的数值保捏不变！由于每履行次步操作，V-E+F的值齐不会发生变嫌，因此当咱们得到张一齐由三角形组成的新蚁集图时，该式的值依旧不变。下表格展示了对立体张开所得蚁集图作念变换时，V-E+F的变化规矩。

接下来先容二步与三步操作。这两步会从蚁集图的外围逐层去掉面，使面的数目慢慢减少。旦启动该操作，这张蚁集图粗略率不再对应某个多面体，但蚁集图进攻的质依然保捏不变。

形状二：咱们先查验蚁集图是否存在这么个面：它与外部面仅共用条边。若是存在，就删掉这条内行边，从而移除该面。底本被这个面隐敝的区域会并入外部面，蚁集图也随之变成新的外范畴。下暗示图以立体转化得到的蚁集图为例演示该操作。

图13：移除仅含条外部范畴边的面。

设履行二步之前，这张全由三角形组成的蚁集图的极点、边、面数目辞别为V,E,F。咱们来分析单次二步操作后，V-E+F的数值变化。操作中咱们去掉了条边，新蚁集图的边数变为E-1；极点点也没变，总和仍为 V；被移除的面和外部面并，面数变为F-1。因此变换后的抒发式为V-(E-1)+(F-1)，化简如下：

V-E+F再次保捏不变。

形状3：咱们查验蚁集图中是否存在这么个面：它与外部面共用两条边。若存在，就移除这两条内行边以及两条边相交的内行极点，以此消去该面；此时原属于这个面的区域会再次并入外部面。下图以立体生息蚁集图（完成两次二步操作后的形态）为例演示该操作。

图14：移除含两条外部范畴边的面。

和之前的作念法致，咱们仍用V,E,F透露操作前蚁集图的极点数、边数和面数。当今来看三步操作会对V-E+F的取值产生如何的影响：咱们移除了个极点，也即是两条边相交的内行极点，因此极点数变为V-1；咱们去掉了两条边，边数变为E-2；后，咱们选中的这个面与外部面并，面数变为F-1。因此变换后的式子应为(V-1)-(E-2)+(F-1)，化简如下：

V-E+F的数值再次生效保捏了守恒。

该诠释注解的要津在于反复履行二步与三步操作，终得到个结构其浅易的蚁集图。回来前文，咱们曾屡次使用步操作，得到个系数面均为三角形的蚁集图。这种蚁集图中定存在某个面，它与外部面恰好共用条边，咱们就录取这个面履行二步操作。咱们不错纪律对多个面重迭二步，直到出现个与外部面共用两条边的面，再针对该面履行三步。捏续瓜代进行二步和三步，以这种式不停消去外围的面。

进行上述操作时须服从两条进攻规矩。，只须不错履行三步，就先履行三步；若是同期能遴荐二步和三步，须选用三步。若不服从这条规矩，蚁集图可能会分裂成互不相连的若干部分。二，每次只可移除个面。若是次移除多个面，就会出现一身向外延长到外部面的边，蚁集图将不再是范例有的蚁集图。底下咱们以立体对应的蚁集图为例，邻接上张暗示图的景色连气儿履行多轮操作，无缺演示通盘变换过程。

图15： 对正体拓扑蚁集履行消减算法的无缺序列。

当今咱们不错念念考两个问题：这种不停移除面的操作是否会远隔？若是会远隔，后会剩下什么？稍加念念考就能昭彰，该过程然会停驻 —— 可供移除的面与边的数目齐是有限的；当操作罢手时，蚁集图只会剩下个单的三角形。文中配有若干暗示图，无缺演示由正十二面体转化而来的蚁集图的一齐变换过程（前文曾先容过，正十二面体是五种柏拉图立体之）。

当今不雅察终蚁集图（仅剩下个三角形）的极点、边、面数目：极点数V=3，边数E=3，面数F=2—— 诡计时仍需要把外部面算进去。接下来咱们诡计：

从无缺多面体登程，到后化简得到单个三角形的全过程里，V-E+F的数值永远保捏不变。既然终的蚁集图闲暇V-E+F=2，那么原多面体自己也定闲暇V-E+F=2！至此诠释注解已矣！

多面体除外

后，我将先容欧拉公式在多面体领域除外生息出的若干论。先从个十分逼近生计的例子提及：诡计机芯片。诡计机芯片推行是集成电路，由数百万个袖珍元器件组成，元器件之间通过数百万条电表露相连。这种结构和前文征询的蚁集图十分相似，但有点区别：频频法将这些表露（也即是图中的边）平铺在个平面上而不出现交叉。表露交叉是电路设计中的劣势，须尽可能减少交叉数目，可想要缱绻出理布线案非易事。而蕴含蚁集图相关规矩的多面体欧拉公式，是求解这类布线问题不可或缺的表面基础。

接下来咱们把视线放大至精深法式：咱们所处的寰宇。时于当天，寰宇学仍未就寰宇的果然几何形态达成共鸣。拓扑学 —— 门门筹商形骸与空间的数学分支，是他们开展相关筹商的中枢器用。19 世纪数学发现，三维空间内系数曲面的中枢特征齐由其上孔洞的数目决定：咱们之前征询的粗拙多面体不存在孔洞，甜甜圈体式的曲面则带有个孔洞，以此类。欧拉原始公式对带孔洞的多面体不再诱惑，不外数学出了具价值的广局面。对纵情多面体，V-E+F的数值恰好等于 2 减去两倍的孔洞数目。这个数值被称作欧拉示数，它不仅适用于多面体，是筹商系数三维曲面的要津量。不错说，欧拉公式催生了套全新的、筹商形骸与空间的念念维体系。

作家：Abigail Kirk

翻译：Wonder

审校：姬子隰

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今天咱们将送出由东谈主民邮电出书社提供的《量子科技如何变嫌咱们的生计》。

本书围绕量子诡计、量子守密通讯、量子精密测量、量子 +X 这四大板块张开入阐释。在量子诡计域，预防先容物理已矣平台及产业前沿发扬。量子诡计凭借其强硬算力，有望在密码学、药物研发、天气预告等繁密域带来冲破，大幅提高诡计率，加快科研进度，动产业变革。量子守密通讯面，详备教练主流的 “量子密钥分发”“量子隐形传态””案与产业前沿。它基于量子不可克隆旨趣，为信息安全传输筑牢壁垒，保险金融、国等要津域信息安全，惊叹国和社会踏实。量子精密测量域，先容现今主流的原子钟、原子磁力计等量子诱惑发展。这些诱惑具有精度，在航定位、基础科学筹商等面作用紧要，助力探索微不雅寰宇与宏不雅寰宇奥秘。量子 +X 板块，则聚焦量子前沿技艺与东谈主工智能、化学技艺、材料利用等域的交叉发展。通过融改进，催生出多新兴技艺与利用，为各行业发展注入新活力，对动东谈主类社会跨越意旨远。本书旨在全位呈现量子科技魔力，助力读者融会其进攻价值。

【互动问题：当代集成电路芯片普遍采取平面构型，几亿条线定会发生交叉，工程师不得不建起层层复杂的“立交桥”来避短路。因此，尽可能减少表露交叉的数目是芯片设计的中枢课题。凭证文章中先容的常识，不妨开你的脑洞想想，有莫得什么方针不错减少芯片交叉的数目？（领导：不错从欧拉公式与拓扑学的角度登程去念念考）】

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裁剪：姬子隰

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不代表中科院物理所态度

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